所谓 无界，是说：任取一个正数M （不论它有多大）总存在一个X   使X这一点的函数值的绝对值大于M

而所谓 无穷大 ，是说当X趋于X。 时（X趋于无穷大也一样），任取正数 M （不论它有多大），总存在X。的一个去心邻域 ，只要X在这个邻于内，那么对应的函数值的绝对值统统的大于M！

无界：存在f(x)>M的值，可以是一个点，也可以是任意多个点

无穷大：存在f(x)>M的值,是从某个点画一条直线，直线上方（当是正无穷大时）或下方（当是负无穷大时）的所有点都必须满足。

区别在于一个点或所有点。

无穷大的定义实际隐含了一个性质：那就是单调性，如果是X趋向于X0，那么在X0两边分别单调，如果是X趋向无穷大，那么就是整个函数单调（可能增也可能减）。

所以说，无界就不一定是单调的，但是确实没有一个实数做为上下界，它可以偶尔上升，偶尔下降，但是总一部分是通向无穷大的。而无穷大确实也没有上下界，但是它必须一路上升或下降，不允许有相反方向。

这就是两者的区别，这就是为什么无穷大的定义要求多的原因。必须是x属于(x0,δ)或x>N的所有点，而不能仅仅是某一个点函数值>M

数学家真的很聪明，定义界定的这么含蓄．