你不知道的阶乘与gamma函数

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收藏于 : 2022-11-24 14:44   被转藏 : 1       转藏到我的文章库

你不知道的阶乘

阶乘对于有数学基础的人来说都不陌生,简单理解就是数的累乘。10的阶乘10!=10*9*8*7*6*5*4*3*2*1。但是我们有没有思考过,如分数的阶乘是如何运算的?有没有方法估算一个数的阶乘?

其实,1/2的阶乘等于π的平方根的一半,本文通过两种方式来求该等式。每一种都很巧妙,看了都能开拓数学思维。一种是利用极限与多项式,一种通过gamma函数。下面我们来证明这个等式。

首先,我们来证明沃利斯公式。

正弦函数sin x有无穷多个零点0,±π,±2π,±3π,···。一个多项式如果有若干个零点x1,x2,x3,x4 ···,xn,那么该多项式一定可以表示为

可以将sin x大胆展开得

将x=π/2代入上式可以得出

最后得到

上式就是沃利斯公式。这种证明方法不是特别严格,沃利斯通过求圆弧下的面积同样证明了沃利斯公式,见参考链接《神奇的伽玛函数上》。

证明了沃利斯公式,接下来估算n!,得到n阶乘的一般形式,再求1/2的阶乘,欧拉采用无穷乘积给出了n!的一个插值公式。

改成极限形式为

整理式子得

则n的阶乘的该插值公式得到证明,可以看出该公式也适用于n是分数的情况,将n=1/2代入得

可以惊奇的发现根号内的式子与沃利斯公式形式几乎一样,只少乘了最前面的因子2。将沃利斯公式代入上式得

这样我们就求出了1/2的阶乘的值。

阶乘与gamma函数

gamma函数的一般形式为

利用分部积分法,可以得出

所以可以得到

那么gamma函数的一般形式是如何得出的呢?欧拉通过n的阶乘推导出了gamma函数的一般形式。由于得出了1/2的阶乘的结果中有π的存在,因此欧拉自然联想到阶乘的计算会与积分有关,提出了以下一般的积分形式:

此处n为正整数,e为正实数,利用分部积分法得

通过重复迭代上面的公式得

则可以得到求n的阶乘的式子

现在已经成功的将n的阶乘表示成积分的形式,但是由于n为整数,式子中的非积分部分无法推广分数的情况,因此要继续简化式子。

要让一个量从一个数学等式中消失,数学家惯用的做法就是让这个量取一个极端的值。这里让e趋于无穷。取e = f/g得

然后令f趋于1,g趋于0。左边显然趋于n的阶乘,右边还需要简化计算,令x等于t的h次方,其中h=g/(f+g),得

当f趋于1,g趋于0时,h显然趋于0,利用洛必达法则,可以得到常用极限

对两边同时取极限,见证奇迹的时刻

通过n的阶乘推导出了gamma函数的一般形式。

下面我们利用gamma函数来求1/2的阶乘。

由于gamma函数的阶乘形式只满足n为正整数的情况,因为我们要通过gamma函数的一般形式来算1/2的阶乘。我们将n=-1/2代入gamma函数一般表达式得

仔细观察函数部分与某一种分布的概率密度函数神似,就是正态分布。正态分布的概率密度函数为

一般形式的正态分布概率密度函数参数较多,不便于我们观察,我们取正态分布的标准形式,即μ取0,σ取1,则正态分布的概率密度函数变成

关于y轴对称,则大于0的部分积分为1/2,可以得到

令x = √(2t),代入上式得

惊奇的发现积分部分包含我们求的(1/2),于是得

现在我们已经求到(1/2),求1/2的阶乘,也就是(3/2)就很简单了,由于

我们可以得出

本文只是简单介绍了gamma函数,接下来的文章会介绍与gamma函数相关的gamma分布与beta分布。

参考链接:

http://www.flickering.cn/数学之美/2014/06/神奇的伽玛函数上/

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