高中数学易错、易混、易忘题分类汇编

高中数学易错、易混、易忘题分类汇编

 

“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。

例1、        设 ， ，若 ，求实数a组成的集合的子集有多少个？

【易错点分析】此题由条件 易知 ，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。

解析：集合A化简得 ，由 知 故（Ⅰ）当 时，即方程 无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当 时，即方程 的解为3或5，代入得 或 。综上满足条件的a组成的集合为 ，故其子集共有 个。

【练1】已知集合 、 ，若 ，则实数a的取值范围是              。答案： 或 。

例2、已知 ,求 的取值范围

【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但极易忽略x、y满足 这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。

解析：由于 得(x+2)²=1- ≤1，∴-3≤x≤-1从而x²+y²=-3x²-16x-12=

+ 因此当x=-1时x²+y²有最小值1, 当x=- 时，x²+y²有最大值 。故x²+y²的取值范围是[1, ]

【练2】（05高考重庆卷）若动点（x,y）在曲线 上变化，则 的最大值为（）

（A） （B） （C） （D）

答案：A

【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。

例3、        是R上的奇函数，（1）求a的值（2）求的反函数

【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。

解析：（1）利用 （或 ）求得a=1.

（2）由 即 ，设 ,则 由于 故 ， ，而 所以

【练3】（2004全国理）函数 的反函数是（）

A、   B、

C、      D、  

答案：B

例4、已知函数 ，函数 的图像与 的图象关于直线 对称，则 的解析式为（）

A、   B、   C、   D、

【易错点分析】解答本题时易由 与 互为反函数，而认为 的反函数是 则 = = 而错选A。

解析：由 得 从而 再求 的反函数得 。正确答案：B

【练4】（2004高考福建卷）已知函数y=log₂x的反函数是y=f^-1(x)，则函数y= f^-1(1-x)的图象是（）

答案：B

【易错点5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。

例5、        判断函数 的奇偶性。

【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解： 从而得出函数 为非奇非偶函数的错误结论。

解析：由函数的解析式知x满足 即函数的定义域为 定义域关于原点对称，在定义域下 易证 即函数为奇函数。

【练5】判断下列函数的奇偶性：

① ② ③

答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数

例6、        函数 的反函数为 ，证明 是奇函数且在其定义域上是增函数。

【思维分析】可求 的表达式，再证明。若注意到 与 具有相同的单调性和奇偶性，只需研究原函数 的单调性和奇偶性即可。

解析： ，故 为奇函数从而 为奇函数。又令 在 和 上均为增函数且 为增函数，故 在 和 上分别为增函数。故 分别在 和 上分别为增函数。

【练6】（1）（99全国高考题）已知  ，则如下结论正确的是（）

A、 是奇函数且为增函数               B、  是奇函数且为减函数

C、 是偶函数且为增函数               D、 是偶函数且为减函数

答案：A

（2）（2005天津卷）设 是函数 的反函数，则使 成立的 的取值范围为（）A、    B、          C、         D、

答案：A （ 时， 单调增函数，所以 .）

例7、试判断函数 的单调性并给出证明。

【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义 中的 的任意性。以及函数的单调区间必是函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。

解析：由于 即函数 为奇函数，因此只需判断函数 在 上的单调性即可。设  ，  由于  故当  时 ，此时函数 在 上增函数，同理可证函数 在 上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在 为减函数，在 为增函数。综上所述：函数 在 和 上分别为增函数，在 和 上分别为减函数.

【练7】（1） （潍坊市统考题） （1）用单调性的定义判断函数 在 上的单调性。（2）设 在 的最小值为 ，求 的解析式。

答案：（1）函数在 为增函数在 为减函数。（2）

（2） （2001天津）设 且 为R上的偶函数。（1）求a的值（2）试判断函数在 上的单调性并给出证明。

答案：（1） （2）函数在 上为增函数（证明略）

例8、（2004全国高考卷）已知函数 上是减函数，求a的取值范围。

【易错点分析】 是 在 内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如 在R上递减，但 。

解析：求函数的导数 （1）当 时， 是减函数，则 故 解得 。（2）当 时， 易知此时函数也在R上是减函数。（3）当 时，在R上存在一个区间在其上有 ，所以当 时，函数 不是减函数，综上，所求a的取值范围是 。

【练8】（1）（2003新课程）函数 是是单调函数的充要条件是（）

A、   B、  C、  D、

答案：A

（2）是否存在这样的K值，使函数 在 上递减，在 上递增？

答案： 。（提示据题意结合函数的连续性知 ，但 是函数在 上递减，在 上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由 求出K值后要检验。）

例9、 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )²+(b+ )²的最小值。

错解 :(a+ )²+(b+ )²=a²+b²+ + +4≥2ab+ +4≥4 +4=8∴(a+ )²+(b+ )²的最小值是8

【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式a²+b²≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b= ,第二次等号成立的条件ab= ，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。

解析：原式= a²+b²+ + +4=( a²+b²)+( + )+4=[(a+b)²-2ab]+ [( + )²- ]+4 =(1-2ab)(1+ )+4由ab≤( )²=  得：1-2ab≥1- = ,且 ≥16，1+ ≥17∴原式≥ ×17+4=  (当且仅当a=b= 时，等号成立)∴(a+ )²+(b+ )²的最小值是 。

【练9】（97全国卷文22理22）甲、乙两地相距s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元。

（1）        把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；

（2）        为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

答案为:（1） （2）使全程运输成本最小，当 ≤c时，行驶速度v= ；当 ＞c时，行驶速度v=c。

例10、是否存在实数a使函数 在 上是增函数？若存在求出a的值，若不存在，说明理由。

【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a的范围扩大。

解析：函数 是由 和 复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方法（1）当a>1时，若使 在 上是增函数，则 在 上是增函数且大于零。故有 解得a>1。（2）当a<1时若使 在 上是增函数，则 在 上是减函数且大于零。 不等式组无解。综上所述存在实数a>1使得函数 在 上是增函数

【练10】（1）（黄岗三月分统考变式题）设 ，且 试求函数 的的单调区间。

答案：当 ，函数在 上单调递减在 上单调递增当 函数在 上单调递增在 上单调递减。

（2）（2005 高考天津）若函数 在区间 内单调递增，则 的取值范围是（）A、          B、          C、         D、

答案：B.（记 ，则 当 时，要使得 是增函数，则需有 恒成立，所以 .矛盾.排除C、D当 时，要使 是函数，则需有 恒成立，所以 .排除A）

例11、已知 求 的最大值

【易错点分析】此题学生都能通过条件 将问题转化为关于 的函数，进而利用换元的思想令 将问题变为关于t的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成错解，

解析：由已知条件有 且 （结合 ）得 ，而 = = 令 则原式= 根据二次函数配方得：当 即 时，原式取得最大值 。

【练11】（1）（高考变式题）设a>0，000求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a 的最大值和最小值。

答案：f(x)的最小值为－2a －2 a－ ，最大值为

（2）不等式 >ax＋ 的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。

答案： （提示令换元 原不等式变为关于t的一元二次不等式的解集为 ）

例12、（2005高考北京卷）数列 前n项和 且 。（1）求 的值及数列 的通项公式。

【易错点分析】此题在应用 与 的关系时误认为 对于任意n值都成立，忽略了对n=1的情况的验证。易得出数列 为等比数列的错误结论。

解析：易求得 。由 得 故 得 又 ， 故该数列从第二项开始为等比数列故 。

【练12】（2004全国理）已知数列 满足 则数列 的通项为               。

答案：（将条件右端视为数列 的前n-1项和利用公式法解答即可）

例13、等差数列 的首项 ，前n项和 ，当 时， 。问n为何值时 最大?

【易错点分析】等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可将问题转化为求解关于n的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。

解析：由题意知 = 此函数是以n为变量的二次函数，因为 ，当 时， 故 即此二次函数开口向下，故由 得当 时 取得最大值，但由于 ，故若 为偶数，当 时， 最大。

当 为奇数时，当 时 最大。

【练13】（2001全国高考题）设 是等差数列， 是前n项和，且 ， ，则下列结论错误的是（）A、 B、 C、  D、 和 均为 的最大值。

答案：C（提示利用二次函数的知识得等差数列前n项和关于n的二次函数的对称轴再结合单调性解答）

例14、已知关于的方程 和 的四个根组成首项为 的等差数列，求 的值。

【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。

解析：不妨设 是方程 的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程 的另一根是此等差数列的第四项，而方程 的两根是等差数列的中间两项，根据等差数列知识易知此等差数列为： 故 从而 = 。

【练14】（2003全国理天津理）已知方程 和 的四个根组成一个首项为 的等差数列，则 =（）  A、1  B、  C、   D、

答案：C

例15、数列 中， ， ，数列 是公比为 （ ）的等比数列。

（I）求使 成立的 的取值范围；（II）求数列 的前 项的和 ．

【易错点分析】对于等比数列的前n项和易忽略公比q=1的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从定义出发研究条件数列 是公比为 （ ）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口。使思维受阻。

解：（I）∵数列 是公比为 的等比数列，∴ ， ，由 得 ，即 （ ），解得 ．

（II）由数列 是公比为 的等比数列，得 ，这表明数列 的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是 ，又 ， ，∴当 时，

，当 时， ．

【练15】（2005高考全国卷一第一问）设等比数列 的公比为q，前n项和 （1）求q的取值范围。

答案：

例16、．（2003北京理）已知数列 是等差数列，且

（1）求数列 的通项公式（2）令 求数列 前项和的公式。

【思维分析】本题根据条件确定数列 的通项公式再由数列 的通项公式分析可知数列 是一个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和。

解析：（1）易求得

（2）由（1）得 令 （Ⅰ）则 （Ⅱ）用（Ⅰ）减去（Ⅱ）（注意错过一位再相减）得 当 当 时

综上可得：

当 当 时

【练16】（2005全国卷一理）已知 当 时，求数列 的前n项和

答案： 时 当 时 .

例17、求 … ．

【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。

解：由等差数列的前 项和公式得 ，∴ ， 取 ， ， ，…，就分别得到 ，…，∴

．

【练17】（2005济南统考）求和 ＋ ＋ ＋…＋ ．

答案： … ＝ ．

例18、（2004年高考数学江苏卷，20）设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n.

(Ⅰ)若首项 ，公差 ，求满足 的正整数k；

(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a_n}，使得对于一切正整数k都有 成立.

【易错点分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(Ⅱ)时极易根据条件“对于一切正整数k都有 成立”这句话将k取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。

        解：（I）当 时

        由 ，即   又 .

        （II）设数列{a_n}的公差为d，则在 中分别取k=1,2,得

（1） （2）

       

        由（1）得 当

        若 成立          ,

若 故所得数列不符合题意.当

        若

        若 .

        综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：

        ①{a_n} : a_n=0，即0，0，0，…；②{a_n} : a_n=1，即1，1，1，…；    ③{a_n} : a_n=2n－1，即1，3，5，…，

【练18】（1）（2000全国）已知数列 ,其中 ,且数列 为等比数列.求常数p

答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根据等比中项的性质建立关于p的方程，再说明p值对任意自然数n都成立）

例19、已知双曲线 ，直线 ，讨论直线与双曲线公共点的个数

【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程组，方程组有几解，则直线与曲线就有几个交点，但在消元后转化为关于x或y的方程后，易忽视对方程的种类进行讨论而主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。

解析：联立方程组 消去y得到 （1）当 时，即 ，方程为关于x的一次方程，此时方程组只有解，即直线与双曲线只有一个交点。（2）当 时即 ，方程组只有一解，故直线与双曲线有一个交点（3）当 时，方程组有两个交点此时 且 。（4）当 时即 或 时方程组无解此时直线与双曲线无交点。

综上知当 或 时直线与双曲线只有一个交点，当 且 。时直线与双曲线有两个交点，当 或 时方程组无解此时直线与双曲线无交点。

【练19】（1）（2005重庆卷）已知椭圆 的方程为 ，双曲线 的左右焦点分别为 的左右顶点，而 的左右顶点分别是 的左右焦点。（1）求双曲线的方程（2）若直线 与椭圆 及双曲线 恒有两个不同的交点，且与 的两个交点A和B满足 ，其中O为原点，求k的取值范围。答案：（1） （2）

（2）已知双曲线C： ，过点P（1，1）作直线l, 使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有____条。答案：4条（可知k_l存在时，令l: y-1=k(x-1)代入 中整理有(4-k²)x²+2k(k-1)x-

(1-k²)-4=0,∴ 当4-k²=0即k=±2时，有一个公共点；当k≠±2时，由Δ=0有 ，有一个切点另：当k_l不存在时，x=1也和曲线C有一个切点∴综上，共有4条满足条件的直线）

例20、已知 ，求（1） ；（2） 的值.

【思维分析】将式子转化为正切如利用 可将（2）式分子分母除去 即可。

解：（1） ；

     (2) 

         .

【练20】．（2004年湖北卷理科）

已知 的值.

答案： （原式可化为 ， ）

【易错点21】解答数列应用题，审题不严易将有关数列的第n项与数列的前n项和混淆导致错误解答。

例21、如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对拆,再对拆....对拆50次后,报纸的厚度是多少?你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为 米)

【易错点分析】对拆50次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第n项,易误理解为是比等比数列的前n项和。

解析：对拆一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列 ，则数列 是以 米为首项，公比为2的等比数列。从而对拆50次后纸的厚度是此等比数列的第51项，利用等比数列的通项公式易得a₅₁=0.05×10^-3×2⁵⁰=5.63×10¹⁰,而地球和月球间的距离为4×10⁸<5.63×10¹⁰故可建一座桥。

【练21】（2001全国高考）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 ，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 .

(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为a_n万元，旅游业总收入为b_n万元，写出a_n,b_n的表达式；

(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入

（1）a_n=800+800×(1－ )+…+800×(1－ )^n－1= 800×(1－ )^k－1=4000×［1－( )ⁿ］

b_n=400+400×(1+ )+…+400×(1+ )^k－1= 400×( )^k－1=1600×［( )ⁿ－1］

（2）至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入

例21、下列命题正确的是（）

A、 、 都是第二象限角，若 ，则 B、 、 都是第三象限角，若 ，则 C、 、 都是第四象限角，若 ，则 D、 、 都是第一象限角，若 ，则 。

【易错点分析】学生在解答此题时易出现如下错误：（1）将象限角简单理解为锐角或钝角或270到360度之间的角。（2）思维转向利用三角函数的单调性，没有应用三角函数线比较两角三角函数值大小的意识而使思维受阻。

解析：A、由三角函数易知此时角 的正切线的数量比角 的正切线的数量要小即 B、同理可知 C、知满足条件的角 的正切线的数量比角 的正切线的数量要大即 。正确。D、同理可知应为 。

【练22】（2000全国高考）已知 ，那么下列命题正确的是（）

A、  若 、都是第一象限角，则 B、若 、都是第二象限角，则

B、   若 、都是第三象限角，则 D、若 、都是第四象限角，则

答案：D

【易错点23】在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时。易将 和 求错。

例23．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（）

A、  先将每个x值扩大到原来的4倍，y值不变，再向右平移 个单位。

B、   先将每个x值缩小到原来的 倍，y值不变，再向左平移 个单位。

C、   先把每个x值扩大到原来的4倍，y值不变，再向左平移个 单位。

D、  先把每个x值缩小到原来的 倍，y值不变，再向右平移 个单位。

【易错点分析】 变换成 是把每个x值缩小到原来的 倍，有的同学误认为是扩大到原来的倍，这样就误选A或C，再把 平移到 有的同学平移方向错了，

有的同学平移的单位误认为是 。

解析：由 变形为 常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍得到函数 的图象，

再将函数 的图象纵坐标不变，横坐标向右平移 单位。即得函数 。

或者先进行相位变换，即将 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标向右平移 个单位，得到函数 的图象，再将其横坐标变为原来的4倍即得即得函数 的图象。

【练23】（2005全国卷天津卷）要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点的

A、  横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度。B、横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度。C、横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度。D、横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位长度。

答案：C

【易错点24】没有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象。

例24、已知 ， 求 的值。

【易错点分析】本题可依据条件 ，利用 可解得 的值，再通过解方程组的方法即可解得 、 的值。但在解题过程中易忽视 这个隐含条件来确定角 范围，主观认为 的值可正可负从而造成增解。

解析：据已知 （1）有 ，又由于 ，故有 ，从而 即 （2）联立（1）（2）可得 ，可得 。

【练24】（1994全国高考）已知 ，则 的值是       。

答案：

例25、若 ，且 、 均为锐角，求 的值。

【易错点分析】本题在解答过程中，若求 的正弦，这时由于正弦函数在 区间内不单调故满足条件的角有两个，两个是否都满足还需进一步检验这就给解答带来了困难，但若求 的余弦就不易出错，这是因为余弦函数在 内单调，满足条件的角唯一。

解析：由 且 、 均为锐角知解析：由 且 、 均为锐角知 ,则 由 、 均为锐角即 故

【练25】（1）在三角形 中，已知 ，求三角形的内角C的大小。

答案： （提示确定已知角的余弦值，并结合已知条件确定角A的范围）

（2）（2002天津理，17）已知cos（α＋ ）＝ ≤α＜ ，求cos（2α＋ ）的值.

答案： =－

例26、如果函数 的图象关于直线 对称，那么a等于（    ）

A.  B.－  C.1   D.－1

【易错点分析】函数 的对称轴一定经过图象的波峰顶或波谷底，且与y轴平行，而对称中心是图象与x轴的交点，学生对函数的对称性不理解误认为当 时，y=0，导致解答出错。

解析：（法一）函数的解析式可化为 ，故 的最大值为 ，依题意，直线 是函数的对称轴，则它通过函数的最大值或最小值点即

，解得 .故选D

（法二）依题意函数为 ,直线 是函数的对称轴,故有 ，即： ，而

故 ，从而 故选D.

（法三）若函数关于直线 是函数的对称则必有 ，代入即得 。

【练26】（1）（2003年高考江苏卷18）已知函数 上R上的偶函数，其图象关于点 对称，且在区间 上是单调函数，求 和ω的值.

答案： 或 。

（2）（2005全国卷一第17题第一问）设函数的 ， 图象的一条对称轴是直线 ，求   答案： =

例27、在 中， 。求 的面积

【易错点分析】根据三角形面积公式，只需利用正弦定理确定三角形的内角C，则相应的三角形内角A即可确定再利用 即可求得。但由于正弦函数在区间 内不严格格单调所以满足条件的角可能不唯一，这时要借助已知条件加以检验，务必做到不漏解、不多解。

解析：根据正弦定理知： 即 得 ，由于 即满足条件的三角形有两个故 或 .则 或 故相应的三角形面积为 或 .

 

【练27】（2001全国）如果满足 ， ， 的三角表恰有一个那么k的取值范围是（）A、 B、 C、 D、 或

答案：D

例28、（1）（2005湖南高考）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.

【易错点分析】本题在解答过程中若忽视三角形中三内角的联系及三角形各内角大小范围的限制，易使思维受阻或解答出现增解现象。

解法一  由 得

所以 即

因为 所以 ，从而 由 知 从而 .由 即 由此得 所以

解法二：由 由 、 ，所以 即 由 得

所以   即 因为 ，所以 由 从而 ，知B+2C= 不合要求.再由 ，得 所以

2、（北京市东城区2005年高三年级四月份综合练习）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且  （Ⅰ）求角B的大小（Ⅱ）若 ，求△ABC的面积.

【思维分析】根据正弦定理和余弦定理将条件化为三角形边的关系或角的关系解答。

（Ⅰ）解法一：由正弦定理 得 将上式代入已知 即 故A+B+C= ， 为三角形的内角， .

解法二：由余弦定理得 将上式代入   整理得

为三角形的内角， .

（Ⅱ）将 代入余弦定理 得

【练28】（1）（2004年北京春季高考）在 中，a，b，c分别是 的对边长，已知a，b，c成等比数列，且 ，求 的大小及 的值。

答案： ，

（2）（2005天津）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件 和 。求∠A和 的值。

答案： ，

例29、解关于x的不等式 ＞1(a≠1).

【易错点分析】将不等式化为关于x的一元二次不等式后，忽视对二次项系数的正负的讨论，导致错解。

解：原不等式可化为： ＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.

当a＞1时，原不等式与(x－ )(x－2)＞0同解.若 ≥2，即0≤a＜1时，原不等式无解；若 ＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1时原不等式的解为(－∞， )∪(2，+∞).

当a＜1时，若a＜0，解集为( ，2)；若0＜a＜1，解集为(2， )

综上所述：当a＞1时解集为(－∞， )∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2， )；当a=0时，解集为 ；当a＜0时，解集为( ，2).

【练29】（2005年江西高考）已知函数 为常数）,且方程 有两个实根为

（1）求函数 的解析式；（2）设 ,解关于 的不等式：

答案： ①当 时,解集为 ②当 时,不等式为 解集为 ③当 时,解集为

例30、已知函数 （1）如果函数 的定义域为R求实数m的取值范围。（2）如果函数 的值域为R求实数m的取值范围。

【易错点分析】此题学生易忽视对 是否为零的讨论，而导致思维不全面而漏解。另一方面对两个问题中定义域为R和值域为R的含义理解不透彻导致错解。

解析：（1）据题意知若函数的定义域为R即对任意的x值 恒成立，令 ，当 =0时，即 或 。经验证当 时适合，当 时，据二次函数知识若对任意x值函数值大于零恒成立，只需 解之得 或 综上所知m的取值范围为 或 。

（2）如果函数 的值域为R即对数的真数 能取到任意的正数，令 当 =0时，即 或 。经验证当 时适合，当 时，据二次函数知识知要使的函数值取得所有正值只需 解之得 综上可知满足题意的m的取值范围是 。

【练30】已知函数 的定义域和值域分别为R试分别确定满足条件的a的取值范围。答案：（1） 或 （2） 或

例31、已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求证：(a+ )(b+ )≥ .

【易错点分析】此题若直接应用重要不等式证明，显然a+ 和 b+ 不能同时取得等号，本题可有如下证明方法。

证法一：(分析综合法）欲证原式，即证4(ab)²+4(a²+b²)－25ab+4≥0，即证4(ab)²－33(ab)+8≥0，即证ab≤ 或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2 ，∴ab≤ ，从而得证.

证法二：(均值代换法)设a= +t₁，b= +t₂.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t₁+t₂=0，|t₁|＜ ，|t₂|＜

显然当且仅当t=0，即a=b= 时，等号成立.

证法三：(比较法）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ，∴ab≤

证法四：(综合法)∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ，∴ab≤ .

证法五：(三角代换法)∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin²α，b=cos²α，α∈(0， )

 

 

 

 

【练31】（2002北京文）数列 由下列条件确定：