数学名人名言（下）

数学之美

虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离，因为美的主要形式就是秩序、匀称和确定性，这些正是数学研究的原则。——亚里士多德

哪里有数，哪里就有美。——普罗克洛斯

算学中所谓美的问题，是指一个难于解决的问题．所谓美的解答，则是指一个困难、复杂问题的简易回答。——狄德罗

我的工作总是尽力把真和美统一起来，但当我必须在两者中选一个时，我通常选择美。——外尔

数学家只有在他内心感到真实的美时才是完美的。——歌德

数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了数学家。——阿达马

数学在很大程度上是一门艺术，他的发展总是起源于美学准则、受其指导、据其评价的。——波莱尔

美是首要的标准；不美的数学在世界上找不到永久容身之地。——哈代

我们自己越是因数学的美而狂喜，就愈加会因只能是极少的人共享我们的欢乐而遗憾．……请记住，400年前，算术还曾是一种困难的技艺，而现在，小学中的每个孩子都必须掌握它们，也许高等数学的美……终将为每个受过教育的人所理解。——克鲁尔

数学确属美妙的杰作，宛如画家或诗人的创作一样——是思想的综合；如同颜色或词汇的综合一样，应当具有内在的和谐一致。对于数学概念来说，美是她的第一个试金石；世界上不存在畸形丑陋的数学。 ——G.H.Hardy

音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。 ——F.Klein

当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。 ——柯普宁（前苏联哲学家）

这就是结构好的语言的好处，它简化的记法常常是深奥理论的源泉。——拉普拉斯

数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美。 ——罗素（B.Russell）

数学能促进人们对美的特性——数值、比例、秩序等的认识。 ——亚里士多德

美包含在体积和秩序中。 ——黑格尔(G..W.F.Hegel)

纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇。 ——爱因斯坦

数学如同音乐或诗一样显然地确实具有美学价值。 ——雅可比

音乐与代数很类似。 ——哈登伯格

硬说数学科学无美可言的人是错误的。美的主要形式是秩序、匀称与明确。——亚里斯多德

感觉到数学的美，感觉到数与形的协调，感觉到几何的优雅，这是所有真正的数学家都清楚的真实的美的感觉。 ——庞加莱

数学之美是很自然明白地摆着的。 ——哈尔莫斯

我认为，说数学家选择课题的准则以及判断他是否成功的准则，主要的是美学准则，这是正确的。 ——冯.诺伊曼

我的工作总是力图把真与美结合起来，但是，当我不得不选择其中的一种时，我通常选择美。 ——韦尔

在数学定理的评价中，审美标准既重于逻辑的标准，也重于实用的标准：在对数学思想的评价时，美与优雅比是否严密、正确，比是否有用都重要得多。 ——斯蒂恩

纯粹数学可以是实际有用的，而应用数学也可以是优美高雅的。 ——哈尔莫斯

对早已正确认定的定理做进一步的研究，探索它的新证法，只不过是因为现有的证明欠缺美的魅力。 ——克莱因

数学家如画家或诗人一样，是款式的制造者．．．．．．数学家的款式，如同画家或诗人的款式，必须是美的……世上没有丑陋数学的永久立身之地。 ——哈代

一种奇特的美统治着数学王国，这种美不像艺术之美与自然之美那么相类似，但她深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏，与艺术之美是十分相象的。 ——库默

我们能够期待，随着教育与娱乐的发展，将有更多的人欣赏音乐与绘画。但是，能够真正欣赏数学的人数是很少的。 ——贝尔斯

在现实中，不存在像数学那样有如此多的东西，持续了几千年依然是确实的如此美好。 ——苏利文

音乐是感觉中的数学，而数学是推理中的音乐，两者的灵魂是完全一致的！……当人类智慧升华到完美境界时，音乐和数学就互相渗透而融为一体了。——西尔维斯特

一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人，那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。——魏尔斯特拉斯

数学和诗歌都具有永恒的性质。历史上，诗歌使得通常的交际语言完美，而数学则在创造描述精确思想的语言中起了主要作用。 ——卡迈克尔

数学精神

我们(研究数学)要有雄心壮志，树立远大的革命理想，无所畏惧，敢于攻关，还要在具体工作中一丝不苟，踏实苦干，惟有这样，才能作出应有的贡献。 ——王元

一个不擅于计算的人，有可能成为一个第一流的数学家，而一个没有丝毫数学观念的人，充其量只能成为一个大计算家。 ——哈登伯格

解决问题的是人,而不是方法。 ——马斯科

拉格朗日是数学科学中高耸的金字塔。 ——拿破仑

我们必须知道，我们必将知道。 ——希尔伯特

数学之几何

几何无王者之道。 ——欧几里德

没有为国王特设的通往几何学的道路。 ——欧几里得

不懂几何者勿入。 ——柏拉图

几何无坦途。 ——米内克穆斯（Menaechmus）

几何看来有时候要领先于分析，但事实上，几何的先行于分析，只不过像一个仆人走在主人的前面一样，是为主人开路的。 ——西尔维斯特

感觉到数学的美，感觉到数与形的协调，感觉到几何的优雅，这是所有真正的数学家都清楚的真实的美的感觉。 ——庞加莱

如果欧几里得几何未能激起你少年时代的热情，那么，你就不是一个天生的科学思想家。

——爱因斯坦

纯粹几何学的学说往往会给出，而在许多问题中会给出多个简单而自然的办法来洞察诸真理的来源，去揭露那连接它们的神秘链索，去使它们独特地、明白地、完全地被认识。 ——卓斯拿斯

考虑了很少的那几样东西之后，整个的事情就归结为纯几何，这是物理和力学的一个目标。 ——莱布尼茨

几何学是在不准确的图形上进行正确推理的艺术。 ——波利亚

算术符号是书写出来的图形，而几何图形是绘画出来的公式。 ——希尔伯特

几何学有两大珍宝，其一是毕达哥拉斯定理，另一个是分一线段为中外比。前者我们可比之为黄金，后者，我们可称之为贵重的宝石。 ——开普勒

数学之代数

代数不过是书写的几何，而几何不过是图形的代数。 ——索菲娅·格梅茵

只要代数和几何沿着各自的途径去发展，它们的进展将是缓慢的，他们的应用也是很有限的。但是，当这两门学科结成伴侣，它们都将从对方身上获得新鲜的活力，因此，以快速的步伐猛进，趋于完美。 ——拉格朗日

代数学是慷慨大方的，它给予人的往往比人们对她所要求的还要多。——达朗贝尔

代数是搞清楚世界上数量关系的智工具。 ——怀特海

数学中的无穷

没有任何问题可以向无穷那样深深的触动人的情感，很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想,然而也没有任何其他的概念能向无穷那样需要加以阐明。 ——D.Hilbert

数学是无穷的科学。 ——赫尔曼外尔

过去关于数学无限小与无限大的许多纠缠不清的困难问题在今天的逐一解决，可能是我们这个时代必须夸耀的伟大成就之一。 ——罗素

无穷大是一个深不可测的海湾，所有的东西都会在其中消失。 ——马可奥勒利乌斯

有样东西不能证明自己，而且一旦它能够证明自己，它就不会存在，这件东西是什么？它就是无穷大！ ——达芬奇

当我们说一个东西是无穷大的时候，这仅仅意味着我们不能感知到所指事物的终点或边界。 ——霍布斯

当研究无穷大时，“常识”是一个非常差劲的向导！ ——马奥尔

那些无限空间里的无尽寂静使我感到恐惧。 ——帕斯卡

打开一扇我们可以从中向外观察无尽太空的大门。 ——布鲁诺

无穷大是一个黑暗的、无限的海洋，它没有边际。 ——弥尔顿

无穷大只是一个比喻，意思是指这样一个极限：当允许某些比率无限地增加时，另一些特定比率可以相应地无限逼近这个极限，要多近有多近。 ——高斯

无限集是一个可以与它自己的一个真子集一一对应的集。 ——康托尔

我们就不该进入对无穷的讨论，由于我们自身不是无穷，因此让我们去决定任何与无穷相关的事物是荒谬的，因为这就等于我们试图去限制它或停止它。对于那些问直线的一半是不是无穷，一个无穷的数是奇数还是偶数等问题的人，我们不要去理会他们。人不应该去想这个问题，除非他认为他有头脑是无穷的。 ——笛卡尔

数学证明与方法

数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。 ——C.F.Gauss

只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰亡。正如人类的每种事业都为了达到某种最终目的一样，数学研究需要问题。问题的解决锻炼了研究者的力量，通过解决问题，他发现新方法及新观点并扩大他的眼界。 ——D.Hilbert

在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。 ——拉普拉斯

数学是各式各样的证明技巧。 ——维特根斯坦

从最简单的做起。 ——波利亚

数缺形时少直观，形缺数时难入微。——华罗庚

要打好数学基础有两个必经过程：先学习、接受“由薄到厚”；再消化、提炼“由厚到薄” ——华罗庚

我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。——纳皮尔

思维自疑问和惊奇开始。——亚里士多德

问题是数学的心脏。 ——P.R.Halmos

没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。 ——牛顿

数学的创作绝不是单靠推论可以得到的，首先通常是一些模糊的猜测，揣摩着可能的推广，接着下了不十分有把握的结论。然后整理想法，直到看出事实的端倪，往往还要费好大的劲儿，才能将一切付诸逻辑式的证明。这过程并不是一蹴而就的，要经过许多失败、挫折，一再地猜测、揣摩，在试探中白花掉几个月的时间是常有的。 ——哈尔莫斯

用一条单独的曲线，像表示棉花价格而画的曲线那样，来描述在最复杂的音乐演出的效果---在我看来是数学能力的极好证明。 ——开尔文

任何的推广都只是一个假设，假设扮演必要的角色，这谁都不否认，可是必须要给出证明。 ——庞加莱

数学方法是数学的本质。数学家是能完全领悟数学方法的人。 ——哈登伯格

学习数学的惟一方法是做数学。 ——哈尔莫斯

别忽视类比，它能引导我们去发现。 ——波利亚

方法完全在于对我们必须加以注意的事物给以适当的整理、分类，使之条理化。 ——笛卡尔

想象比知识更重要。 ——爱因斯坦

数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥。 ——德摩根

非数学归纳法在数学的研究中，起着不可缺少的作用。 ——舒尔

观察只获得试验性质的梗概、猜想，而不是证明。 ——波利亚

多数的数学创造是直觉的结果，对事实多少有点儿直接的知觉或快速的理解，而与任何冗长的或形式的推理过程无关。 ——卢卡斯(WilliamF．Lucas)

数学史

在数学教学中，加入历史是有百利而无一弊的。 ——保罗·朗之万（法数学家）

如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。 ——庞加莱

学习数学史倒不一定产生更出色的数学家，但它产生更温雅的数学家，学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心灵，并且培植他们高雅的质量。 ——萨顿

如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立和发展的概念、方法和结果，我们就不可能理解近50年来数学的目标，也不可能理解它的成就。 ——外尔

数学如同哲学一样，实际上无法与其历史割裂开来。 ——爱德华

数学教学

一个例子比十个定理有效。 ——牛顿

导引定义，经常可以从反例着手。 ——黄武雄（台大教授）

如果不在某种程度上成为一个诗人，就永远不会成为一个完美的数学老师。 ——魏尔斯特拉斯

儿童教育的目的应该是逐渐地把知与行结合起来。在所有的学科中，数学似乎是能最完全地满足这一要求的惟一的一类学科。 ——康德

如果要把数学的教育潜能付诸实际，那么，既要注意到数学的技术方面，也必须注意到它的结构、历史、创生与哲学的方面，而且，各方面的注意须适当平衡。 ——谢尼泽

我们必须以低调的轻松的风格,而不是满堂灌的独裁风格把好的、有用的数学教给这些人，这样，他们才不会感到在受数学的威胁，不会因不熟悉的符号而畏缩，他们才会喜欢上数学，并且相信他们能够很好地作出合理的判断，能够很好地对付复杂的现实问题。那么，数学将不再成为一种障碍，而将成为打开通向更充实生活的大门的钥匙。 ——希尔顿

有的教师要求学生只用课堂上教的方法解数学题。这种做法会阻碍独创能力的发展，导致失败，并造成回避困难的心理。 ——波雅妮

当一个学生被迫大展身手去对付未解决的问题时，比仅仅学习数学知识，其受益要多得多。 ——斯潘尼尔

如果你想学会游泳，你必须下水；如果想成为解题能手，你必须解题。 ——波利亚

概念的思考是数学的特色。 ——波士顿

技巧是数学知识中最有价值的部分，比仅仅获得信息还要有价值得多。但是，我们应该怎样教技巧呢?学生只有通过模仿与实践才能学到技巧。在数学中，技巧是解决问题的能力，是构想证明的能力，是敏锐地评判答案与证明的能力。因而，在数学中，技巧比仅仅掌握信息还重要得多。 ——波利亚

附：以下内容由AICC张弓

如果我的哲学是给这个世界拍摄一个真相，那么数学、人文、自然科学理论就是美颜相机、有色眼镜，我们透过它可以看到一个绝对完美的世界，然而这个世界并非绝对完美。——张子

如果说大多数哲学都像一个婢女，千方百计地迎合数学、自然科学理论，那么必定不是我的哲学。——张子

数学之于我们就像空气，我们明知道它里面有杂质，却仍然迫切的需要它里面的氧气。——张子

科学理论并不万能，科学理论的建立都还要依赖于数学，而数学1+1=2的信仰，在意识界，在计算机语言中不会有什么差错；在数据统计，在程序软件中也不会有什么漏洞；在宏观世界的真相描摹中也不会表现出很大的谬误；但在微观世界的真相描摹中，它的缺陷很可能就表现出来了。因为根据世界上没有两片完全相同的叶子这种综合判断再作分析判断，世界上也不会有两个完全相同的微观粒子，1+1=2的描述便与此相悖。——张子

人生百态，非一门欲望足以判断；世相万千，非一套规矩堪以描摹。 如果用一个真理就可以判断人生百态、描摹世相万千，那他必定是我的哲学——中华民族之万世绝学——宇宙神斧之张子判断定理。——张子