专题一：“将军饮马”类最值问题

(1)直线型

模型1：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小．

原理：两点之间，线段最短．PA＋PB最小值即为AB长．

模型2：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小．

原理：和最小，同侧转异侧．两点之间，线段最短．

模型3：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大．

原理：两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即为AB长．

模型4：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大．

原理：差最大，异侧转同侧．两边之差小于第三边．

变式：在直线l上求作点P，使l平分∠APB，与此作法相同．

模型5：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最小．

原理：|PA－PB|最小为0，中垂线上的点到线段两端的距离相等．

(2)角型

模型6：在OA，OB上求作点M，N，使△PMN周长最小．

原理：作两次对称，两点之间，线段最短．

模型7：在OA，OB上求作点M，N，使四边形PQMN周长最小．

原理：P，Q分别作对称，两点之间，线段最短． 

模型8：在OA，OB上求作点M，N，

(1)使PM＋MN最小．

(2)使PN＋MN最小．

原理：先连哪个点，就先做关于那个点所在射线的对称点．垂线段最短．

模型9：P，Q为OA，OB的定点，在OA，OB上求作点M，N，使PN＋NM＋MQ最小．

原理：两点之间，线段最短，PN＋NM＋MQ最小值即为P’Q’的长．

(3)平移型

模型10：在直线l上求作点M，N，使MN＝a，且AM＋MN＋NB最小．

原理：将l上的MN转化到B’B．(问题情境：将军从军营A出发，去河边l饮马，饮马完在河边牵马散步a米，回军营B．可以转化为饮完马，直接去军营B，在到达之前散步．)

模型11(造桥选址)：

直线l1∥l2，在l1上求作点M，在l2上求作点N，使MN⊥l1，且AM＋MN＋NB最小．

原理：

将MN转化为AA’．(可以理解为在A处先走过桥的路，再直达点B．)