托勒密定理 原来可以这么玩
托勒密定理内容简单、形式优美,有助于处理圆的内接凸四边形的边长。其相关推论对于解决凸四边形最值问题有很大帮助。小编将从托勒密定理的证明及应用,相关推广及应用来进行阐述! 1、托勒密定理的两种证法 一般几何教科书中的“托勒密定理”,实出自依巴谷(Hipparchus)之手,托勒密只是从他的书中摘出。 定理:圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 已知:如图1,凸四边形ABCD是圆O的内接四边形,连接对角线AC、BD。 求证:AB.CD+BC.AD=AC.BD 图1 分析:由结论的形式我们可以联想到构造三角形相似,从而得到对应变成比例,并把它转化为乘积形式,从而得证! 证法一:如图2,在BD上找一点E,使∠1=∠2。
图2 证法二:如图3,∠1=∠2,使AE交CB的延长线于点E。
图3 2、托勒密定理的应用 例1:如图4,在O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD=60∘,点C为弧BD的中点,则AC的长是 。 图4 解析:连接BD,因为∠BAD=60,CB=CD,易知∠BCD=120,BD=√3BC 由托勒密定理知:AC.BD=AB.CD+AD.BC 即AC.√3BC=3BC+5BC 故√3AC=8,AC=8√3/3 例2:如图5,点P是等边△ABC外接圆劣弧BC上一点,连接PA、PB、PC。 求证:PA=PB+PC 图5 解析:因为△ABC为等边三角形,故AB=BC=AC 由托勒密定理知:AP.BC=AB.PC+AC.BP 即AP.BC=PC.BC+BP.BC,即AP=PB+PC 例3:(利用托勒密定理证明勾股定理)已知Rt△ABC,设直角边AB=a,BC=b,斜边AC=c。求证: 解析:如图6,构造矩形ABCD和外接圆O, 图6 由托勒密定理得:AC.BD=AB.CD+BC.AD 即AC.AC=AB.AB+BC.BC 即 3、托勒密定理的推论及证明 托勒密定理在解决圆的内接凸四边形的边长关系时非常简洁、方便,但仅限于该凸四边形共圆。如果凸四边形不共圆时,各边长将满足怎样的关系呢? 托勒密定理推论:任意凸四边形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,而且当ABCD四点共圆时取等号。 证明:如图7,在四边形ABCD中,连接AC、BD,作∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠CAD 则△ABE∽△ACD 图7
∴ BE/CD=AB/AC,AB/AC=AE/AD ∴BE.AC=AB.CD(1), AB/AE=AC/AD ∵∠BAE=∠CAD ∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC 即∠BAC=∠DAE 又∵AB/AE=AC/AD, ∴△ABC∽△AED ∴BC/ED=AC/AD ∴ED.AC=AD.BC(2) 由(1)+(2)得: AC.(BE+ED)=AB.CD+AD.BC 又∵BE+ED≥BD ∴AC.BD≤AB.CD+AD.BC 当且仅当点E落在线段BD上时,等号成立。 图8 如图8,此时∠ABD=∠ACD ∴ABCD四点共圆。 4、托勒密定理推论的简单应用 例4:如图9,在四边形中BC=CD,∠BCD=90。若AB=4cm,AD=3cm,则对角线AC的最大值为 cm. 图9 解析:本题是2017年园区初二期末数学统考题,我们通常采用旋转的方法求AC的最大值。当小编知道托勒密定理的推论时,这个问题变得非常简单。 由托勒密定理得:AC.BD≤AB.CD+AD.BC 即AC.√2BC≤AB.BC+AD.BC 即√2AC≤7,即AC≤7√2/2 我们从来不缺少知识,但我们缺少对知识有计划的吸收、加工和输出! 路漫漫其修远兮,吾将上下而求索! end |
托勒密定理的证明与妙用
磊磊
收藏于 : 2019-11-11 17:30 被转藏 : 1
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