托勒密定理的证明与妙用

磊磊

收藏于 : 2019-11-11 17:30   被转藏 : 1   

托勒密定理

原来可以这么玩


今年8月初,小编有幸参加了在南京举行的第二届数学行者初中数学教学研讨会!因此,有机会现场聆听数学大咖们的分享!其中于特关于托勒密定理的妙用,让我大开眼界! 遂有此文,聊以纪念这次“南京数学行者”之旅!


托勒密定理内容简单、形式优美,有助于处理圆的内接凸四边形的边长。其相关推论对于解决凸四边形最值问题有很大帮助。小编将从托勒密定理的证明及应用,相关推广及应用来进行阐述!


1、托勒密定理的两种证法

一般几何教科书中的“托勒密定理”,实出自依巴谷(Hipparchus)之手,托勒密只是从他的书中摘出。

定理:圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

已知:如图1,凸四边形ABCD是圆O的内接四边形,连接对角线ACBD

求证:AB.CD+BC.AD=AC.BD

1

分析:由结论的形式我们可以联想到构造三角形相似,从而得到对应变成比例,并把它转化为乘积形式,从而得证!

证法一:如图2,在BD上找一点E,使∠1=∠2

 

2

证法二:如图3∠1=∠2,使AECB的延长线于点E

 

3


2、托勒密定理的应用

例1:如图4,O的内接四边形ABCD,AB=3,AD=5,∠BAD=60∘,点C为弧BD的中点,则AC的长是       


4

解析:连接BD,因为∠BAD=60CB=CD,易知∠BCD=120,BD=3BC

由托勒密定理知:AC.BD=AB.CD+AD.BC

AC.3BC=3BC+5BC

3AC=8,AC=83/3


例2:如图5,点P是等边△ABC外接圆劣弧BC上一点,连接PAPBPC

求证:PA=PB+PC


5

解析:因为△ABC为等边三角形,故AB=BC=AC

由托勒密定理知:AP.BC=AB.PC+AC.BP

AP.BC=PC.BC+BP.BC,即AP=PB+PC


例3:(利用托勒密定理证明勾股定理)已知RtABC,设直角边AB=a,BC=b,斜边AC=c。求证:


解析:如图6,构造矩形ABCD和外接圆O,

 6

由托勒密定理得:AC.BD=AB.CD+BC.AD

AC.AC=AB.AB+BC.BC

3、托勒密定理的推论及证明

托勒密定理在解决圆的内接凸四边形的边长关系时非常简洁、方便,但仅限于该凸四边形共圆。如果凸四边形不共圆时,各边长将满足怎样的关系呢?

托勒密定理推论:任意凸四边形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,而且当ABCD四点共圆时取等号。

证明:如图7在四边形ABCD中,连接AC、BD,作∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠CAD

△ABE∽△ACD


7

 

∴ BE/CD=AB/AC,AB/AC=AE/AD

∴BE.AC=AB.CD(1),

AB/AE=AC/AD

∵∠BAE=∠CAD

∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC

∠BAC=∠DAE

∵AB/AE=AC/AD,

∴△ABC∽△AED

∴BC/ED=AC/AD

∴ED.AC=AD.BC(2)

由(1)+(2)得:

AC.(BE+ED)=AB.CD+AD.BC

∵BE+ED≥BD

∴AC.BD≤AB.CD+AD.BC

当且仅当点E落在线段BD上时,等号成立

8


如图8,此时∠ABD=∠ACD

∴ABCD四点共圆


4、托勒密定理推论的简单应用

4:如图9,在四边形中BC=CD,∠BCD=90。若AB=4cm,AD=3cm,则对角线AC的最大值为      cm.


9

解析:本题是2017年园区初二期末数学统考题,我们通常采用旋转的方法求AC的最大值。当小编知道托勒密定理的推论时,这个问题变得非常简单。

由托勒密定理得:AC.BDAB.CD+AD.BC

AC.2BCAB.BC+AD.BC

2AC7,即AC72/2


我们从来不缺少知识,但我们缺少对知识有计划的吸收、加工和输出!


路漫漫其修远兮,吾将上下而求索!

end


 阅读文章全部内容  
点击查看
文章点评
相关文章
磊磊 关注

文章收藏:5086

TA的最新收藏