轻松理解凝聚态中的拓扑| 诺奖深度解析 （之二）永远的TKNN：动量空间中的拓扑不变量

（系列文章之二）

永远的TKNN：动量空间中的拓扑不变量

上一篇文章介绍了在超导／超流薄膜中的拓扑型元激发－涡旋，以及涡旋激发导致的BKT相变。从中大家可以看到拓扑型激发的几个特点，一是全局性，一个涡旋产生以后对距离很远的相位场都产生影响；二是对局部扰动的稳定性，局部扰动只能移动涡旋的空间位置而不能马上消灭它。同时，产生这种拓扑激发的本质原因也很清楚，就是相位空间是紧致的（compact），说穿了就因为它是一个角度，只能在0到2π之间取值。类似的拓扑型激发在各种不同的凝聚态系统中都存在，比如最近研究很热的斯格明子，就是在铁磁系统中出现的拓扑型激发。

上面介绍的都是实空间的拓扑构型，拓扑激发，如涡旋和斯格明子，无论是描写它们的数学方程，还是显示其空间构型的图片，都非常美妙。但在凝聚态物理中，这只是刚刚开始，更美妙的数学结构存在于动量空间，也就是说在看似复杂的电子态波函数背后居然隐藏着异常丰富和美妙的拓扑结构，目前在这一领域进展非常大，像拓扑绝缘体、量子自旋霍尔效应、量子反常霍尔效应、外尔半金属等等新材料、新现象层出不穷，而这一重要领域的开山之作，就是大名鼎鼎的TKNN，也是这次获奖的工作之一。这篇经典文章由四位科学家联合署名，其中T就是这次获奖的Thouless先生，我们上篇文章介绍的KT相变也是他的贡献，从中可以看出Thouless对当代凝聚态物理的巨大贡献，这次获奖的确是实至名归。今天听说老人家已经不幸罹患老年痴呆，不知道还能不能享受到获奖的愉悦，诺奖委员会的确是动作慢了一些，没能让诺奖赶在老年痴呆之前，不能不说是一个遗憾。TKNN里面的T还是KT相变的T，K却不是KT相变的K，而是日本科学家Kohmoto先生，这是一位性格耿直，非常严谨的老先生，本人曾有幸跟他同时在斯坦福大学访问，一起吃了好几顿饭。Kohmoto先生很喜欢中国，关心中日关系，对中国出现的反日现象忧心忡忡。这几年我几次去东大，想找机会跟他叙叙旧，但都没碰上，听同事说他已经退休，身体也不太好，衷心祝愿他能好起来。剩下两位N，一位是M. P. Nightingale 另一位是 M. den Nijs，也都是凝聚态物理领域内很有成就的科学家。

TKNN要研究的问题，其实属于电子态波函数的拓扑分类，这是一个很大的领域，TKNN关注的是其中最简单的一类。首先，这类波函数是无相互作用的，可以由一个Slater行列式来描写；其次这类波函数描述一个能带绝缘体。由于无相互作用，多电子波函数可以由占据一批单电子波函数以形成Fock态来表示，又由于是能带绝缘体，所有被占据的单电子态将铺满整个布里渊区。这样对多电子态的分类，可以简化为单电子波函数在整个布里渊区内是否具有拓扑结构的问题。目前研究正热的拓扑绝缘体、拓扑半金属等，都是在针对单电子态而言的，本质上都是TKNN的工作在广度和深度上的推广。下面就具体介绍TKNN number。

我们来考虑一个二维无相互作用绝缘体的波函数，对布里渊区内的每一个k点，被占据的单电子波函数构成了一个希尔伯特空间，而这些单电子波函数连同承载它们的二维布里渊区就构成了一个叫做纤维丛(fiber bundle)的数学结构。所谓的纤维丛，就是定义在一个几何体（数学上叫底流形）的一堆函数（数学上叫纤维）。比如下图的这把梳子，就可以看成是一个纤维丛，底流形是一个柱面，而纤维则是上面的一根根梳齿（线段）。

图（一）生活中处处可见“纤维丛”

对于无相互作用绝缘体系统来说，底流形就是我们的二维布里渊区，（注意它是一个轮胎面或者说是当肯甜甜圈，这一点非常重要，后面会详细阐述），而单电子波函数则是“长”在上面的纤维。对于纤维丛的拓扑分类问题，数学大师陈省身先生曾做过系统的研究，按照陈大师的微分几何理论，这样的纤维丛可以分成不同的类，每一个拓扑上等价的类都具有相同的“陈数”，TKNN在二维绝缘体系统中找到的不变量，正是数学上的“陈数”。

 
（a）                                                        （b）

图（二）二维布里渊区示意图

要从物理上理解“陈数”这个比较抽象的数学概念并不难，首先说明一下为什么二维布里渊区是一个轮胎面，这是因为布里渊区内的动量, 跟上篇文章中的角度一样，是定义在一个单值区间［－π,π］之内的，换句话说也是紧致的，因此在图二（a）中布里渊区的上边界跟下边界，左边界跟右边界都是等价的，两边连起来一个平面就成了轮胎面，如图二（b）所示。理解了底流形布里渊区的拓扑特性之后，再来看定义在其上的“纤维“－波函数。固体中的电子态，学过一点固体物理的同学们都知道，就是一条条的能带，如图（三）就是一个典型的绝缘体的能带色散关系图，上面的空态是导带，下面的占据态是价带。在TKNN以前，人们只对电子态的本征能量或色散关系感兴趣，因为它可以决定固体的许多性质，而对具体波函数的性质则不太关心。随着TKNN的工作和对Berry相因子研究的进一步深入，人们越来越认识到波函数内部结构的重要性。

图（三）最简单的绝缘体能带图

其实，跟上篇文章介绍的涡旋激发类似，动量空间中波函数的拓扑结构还是隐藏在它的相位当中。但是一个重要的不同点是，现在我们的体系具有U（1）规范不变性 ψ’k(r) = ψk(r) e^iθ(k)，也就是说每个波函数 ψk(r) 的相位是不定的，可以通过规范变换来进行改变，而任何有意义的物理可观测量都必须在这样的变换下保持不变。因此，我们要解决的问题就转化为是否能在看似任意变化的波函数相位结构中找出规范不变的量来，TKNN给出的答案就是陈数。

我们可以通过一个叫做“Wilson loop”的方法，很直观地向大家介绍陈数这个看似深奥的数学概念。首先，我们在看似随意的波函数相位中找一个规范不变的量，我们可以把二维布里渊区按照不同 ky 的切成一条条的横线，如图（二）所示，并且在每一条线上按照一定的间距分成N个点，于是把相邻k点的占据态波函数求内积再乘起来就是规范不变的，如下式，

需要注意的是，这个连乘是以“贪吃蛇”模式进行的，也就是说从K1开始，最后回到K1，因为刚才讲过，布里渊区其实数轮胎面，所以 KN 和 K1 也是相邻的。

很容易证明这个量在规范变换下是不变的，并且当N趋于无穷大时，这个复数的模A趋于1，而只留下一个相位 θ(ky)，这个量是 ky 的函数，因为对每一个固定 ky 的环我们都可以做同样的计算。然后我们来看相位θ(ky)随着ky是如何演化的。假设从－π变化到π，因为－π和π其实是等价的，相位θ(ky)必须回到初始值或者变化2π的整数倍。

(a)                          （b）

图（四）：陈数分别为零（a）和（b）时相位角的演化示意图。

于是随着变化一圈，相位角θ(ky)必须在布里渊区的轮胎面上绕整数C圈，如图（四）所示，这个整数C就是TKNN发现的陈数！大家可以感受一下，绝缘体系统在k空间的相位结构，居然跟一个涡旋系统有着如此的相似性，可见物理体系背后的数学结构是多么的美妙。

更有意思的是，陈数并不单单只是数学游戏，对于二维绝缘体系统来说，它有明确的物理意义，就是霍尔电导的量子化，不同的陈数对应于不同的量子霍尔效应台阶。1988年本年度物理学奖的另一位获奖者D. Haldane教授第一次提出，无需外磁场而依靠特殊的能带波函数结构也可以产生非平庸的陈数，从而实现量子反常霍尔效应。2010年我和方忠、张首晟等人第一次提出在磁性掺杂的拓扑绝缘体薄膜Bi2Se3/Bi2Te3中可能存在陈数为1的量子反常霍尔效应态，3年后薛其坤小组以无以伦比的实验技巧第一次在上述体系中观测到了量子反常霍尔效应态，引起了很大的关注，这时离TKNN最初的文章已经过去了31年，离D. Haldane88年的理论工作也过去了25年，可见几位获奖前辈在科学上的超人远见。