中考数学经典几何模型:最值 掌握全班最低分98!!!

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收藏于 : 2019-07-17 16:41   被转藏 : 3   

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类型一 “将军饮马”模型

通过对称进行等量代换,转化成两点之间的距离或点到直线的距离,或利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边求得最值。

1、同侧、异侧两线段之和最短


2、同侧、异侧两线段之差最大、最小


例1:已知A. B. C. D四点如图所示,请画出一点P,使P到点A. B. C. D的距离之和最小,并说明理由。


简答:连接AD、BC,令其交点为P,在线段BC上任取一点Q(不同于点P),连接AQ、DQ,如图所示。


∵点P,点Q均在线段BC上,

∴PB+PC=QB+QC,

∵点P在线段AD上,

∴PA+PD=AD,

在△QAD中,QA+QD>AD(两边之和大于第三边),

即QA+QB+QC+QD>PA+PB+PC+PD.

∴线段AD、BC的交点P为所要找的点。

例2:如图:A,B两点在直线的两侧,点A到直线的距离AM=4,点B到直线的距离BN=2,且MN=4,P为直线上的动点,PA+PB的最小值为 ,|PA−PB|的最大值为 ,|PA−PB|的最小值为 。


简答:(1)连接AB,交MN于点P,此时PA+PB最小=2√13


(2)作B点关于MN的对称点B′,连接AB′并延长,与直线MN交于点P,此时|PA−PB|的值最大=PA-PB′=AB′=2√5

理由:在直线MN上任找异于点P的一点P′,连接P′A,P′B′

由三角形两边之差小于第三边可知,P′A-P′B≤AB′,当A、B′、P′三点共线时,取得最值


(3)易知:在直线MN上存在一点P,使得PA=PB,此时|PA−PB|的值最小为0


3、三角形、四边形周长最小


例1:如图,在四边形ABCD中,∠BAD=110∘,∠B=∠D=90∘.在BC,CD上分别找一点M,N,使△AMN周长最小,则∠AMN+∠ANM的度数为 .


解答:

如图,作点A关于BC的对称点A′,关于CD的对称点A″,

连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N,


∵∠BAD=110∘,∠B=∠D=90°,

∴∠A′+∠A″=180°−110°=70°,

由轴对称的性质得:∠A′=∠A′AM,∠A″=∠A″AN,

∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)=2×70°=140°.

例2:如图,∠MON=20°,A、B分别为射线OM、ON上两定点,且OA=2,OB=4,点P、Q分别为射线OM、ON两动点,当P、Q运动时,线段AQ+PQ+PB的最小值是


解答:

作A关于ON的对称点A′,点B关于OM的对称点B′,连接A′B′,交于OM,ON分别为P,Q,连接OA′,OB′,


则PB′=PB,AQ=A′Q,OA′=OA=2,OB′=OB=4,∠MOB′=∠NOA′=∠MON=20°,

∴AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′,∠A′OB′=60°,

∵cos60°=1/2,OA′/OB′=1/2,

∴∠OA′B′=90°,

∴A′B′=2√3,

∴线段AQ+PQ+PB的最小值是:2√3.

4、需要平移的“将军饮马”


例题:如图,已知四边形ABCD四个顶点的坐标为A(1,3),B(m,0),C(m+2,0),D(5,1),当四边形ABCD的周长最小时,m的值为______.


解答:

将C点向左平移2单位与B重合,点D向左平移2单位到D′(3,1),

作D′关于x轴的对称点D″,则点D″(3,−1),


设直线AD″的解析式为y=kx+b,

带入A、D″两点坐标,解得k=−2,b=5.

∴直线AD″的解析式为y=−2x+5.

当y=0时,x=5/2,

即B(5/2,0),∴m=5/2.

5、点到直线垂线段最短


例1:如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60∘,点G是边CD边的中点,点E. F分别是AG、AD上的两个动点,则EF+ED的最小值是 .


解答:

如图作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E,

∵四边形ABCD是菱形,

∵AB=AD=CD=BC=6,


∵∠B=60°,

∴∠ADC=∠B=60°,

∴△ADC是等边三角形,

∵AG是中线,

∴∠GAD=∠GAC

∴点H关于AG的对称点F在AD上,此时EF+ED最小=DH.

∴EF+DE的最小值=DH=3√3

例2:如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=12,点M在AC上,点N在AB上,则BM+MN的最小值为( )


简答:

作B点关于AC的对称点E点,过E作EF垂直AB交AB于F点,


AC=13,

AC边上的高为60/13,所以BE=120/13.

∵△ABC∽△BEF,

∴AB/EF=AC/BE,

求得EF=1440/169.

类型二 由已知定长线段求最值

找到与所求最值相关成三角形的两个定长线段,定长线段的和为最大值,定长线段的差为最小值。

例1、如图,边长为10的等边△ABC的顶点A,B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动,则动点C到原点O的距离的最大值是 。


简答:

如图,取AB中点P,连接OP、PC,


CP、OP长都是定值,CP=5√3,OP=5

∵OP+PC ≥ OC,

∴当O、P、C共线时,OC的值最大,最大值=5+5√3.

例2、如图,在RT△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D是半径为2的圆A上的一个动点,点E是CD的中点,则BE长的最大值是多少?


简答:如图,取AC的中点F,连接BF、EF、AD


AD=2,EF是△ACD的中位线,∴EF=1,是定值

BF是RT△ABC斜边上的中线,∴BF=1/2AC=5/2

∴BE≤BF+EF=1+5/2=7/2

B/F/E三点共线时BE取得最大值

类型三 旋转最值模型

通过旋转,找到与所求最值相关成三角形的两个定长线段,定长线段的和为最大值,定长线段的差为最小值。

例1、如图,四边形ABCD中,AB=4,BC=3,△ACD为等边三角形,求BD的最大值。


简答:将△ABD绕D点顺时针旋转60°,DA与DC重合,DB到DE的位置


易证△DEB为等边三角形,BC=3,EC=AB=4,均为定值

∴BD=BE≤BC+EC=7

当B、C、E三点共线时取得最大值

2、在正方形ABCD外有一点P,PA=3,PB=4,AC,BD交于O点,求OP的最大值


简答:连接OP,将△AOP绕O点旋转90°至△OBP′处,连接BP′、PP′


可知△OPP′为等腰直角三角形,∴OP=√2/2PP′

已知BP=4,BP′=AP=3,均为定值

∴PP′≤BP+BP′=7

∴PP′的最大值为7

∴OP的最大值为7√2/2

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