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谢邀。 同调是拓扑空间范畴上的一个正变函子，也就是说他不改变箭头的方向。同时满足包括excision lemma在内的一系列公理（同调论是可以公理化定义的，给出所有公理，同调就被抽象地唯一确定了，所以所有reasonable的定义同调上同调的方式给出的答案应该都相互同构）。 上同调也是拓扑空间范畴（到graded abelian group，上面忘了说了）的一个反变函子，也就是他改变剪头的方向。他同样满足和同调论对偶的公理，只不过箭头全部是反的而已。上同调不同于同调的地方在于上同调有自然定义的乘积结构，比如奇异上同调上的cup product，de Rham上同调上面的wedge product. 至于具体的几何上的实现方式，我上面已经说过了，同调理论有公理化定义的方式，不需要考虑拓扑上具体如何构造就可以抽象地把同调上同调定义出来，而且所有的具体构造式的定义方式给出的东西都应该是一样的。举个不恰当的例子吧，题主好像是学物理的，矩阵力学和波动力学形式上是不同的，但却是数学上等价的理论。所有不同版本的同调上同调理论也是这样（这里我指的是普通的同调上同调，因为不止在拓扑学里，同调上同调作为函子也可以在其他地方定义）。比较容易理解的同调上同调的构造方式，比如单纯or 奇异同调就是cycle/boundary，直观来说就是“数洞”，奇异上同调是通过奇异同调的dual complex来定义的，直观上不好理解，但是你不考虑torsion的话，de Rham上同调就是闭形式/恰当形式，这应该比较好理解了。 |
同调与上同调？
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