函数的奇偶性与单调性

一.知识总结

 

1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）

 

(1)为奇函数;为偶函数;

 

(2)奇函数在原点有定义

(3)任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和

    即 （奇）（偶）.

 

2.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义)

 

(1)定义:区间上任意两个值,若时有,称为上增函数,若时有,称为上减函数.

 

(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;④复合函数单调性判断法则.

 

3.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|.

 

二.例题精讲

 

【例1】已知定义域为的函数是奇函数.

 

(Ⅰ)求的值;

 

(Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.

 

解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，

         即

 

 又由f（1）= -f（-1）知

 

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得：

，

 

即 ：，

整理得

 

上式对一切均成立，

           从而判别式

 

【例2】设函数在处取得极值－2,试用表示和,并求的单调区间.

 

解：依题意有而

 

故 解得 

      从而。

      令，得或。

      由于在处取得极值，

      故，即。

 

（1）    若，即，则当时，；

（2）    当时，；当时，；

 

从而的单调增区间为；

     单调减区间为

 

若，即，同上可得，

     的单调增区间为；单调减区间为

 

【例3】(理)设函数,若对所有的,都有成立,求实数的取值范围.

 

(文)讨论函数的单调性 

 

（理） 解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a

 

令g′(x)＝0，解得x＝e^a－1－1，               

 

(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有 f(x)≥ax． 

(ii)当a＞1时，对于0＜x＜e^a－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e^a－1－1)是减函数， 

又g(0)＝0，所以对0＜x＜e^a－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]． 

解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．

 

对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝e^a－1－1，               

 

当x＞e^a－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜e^a－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数， 

所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e^a－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]． 

（文）解：设，

        则  

 

∵ 

          ∴ ，，，  

 

当时，，则为增函数

 

当时，，则为减函数

 

当时，为常量，无单调性

 

【例4】(理)已知函数,其中为常数. 

(Ⅰ)若,讨论函数的单调性;

 

(Ⅱ)若,且=4,试证:.

 

(文)已知为定义在上的奇函数，当时，，求的表达式.

（理）

 

 

（文）解：∵为奇函数，  ∴ 

 

       当 时，  

 

∵为奇函数  ∴    

 

∴ 

 

∴     

 

三.巩固练习

 

1.已知是上的减函数,那么的取值范围是( )

 

A.   B.       C.          D.

2.已知是周期为2的奇函数,当时,,设则(  )

 

A. B. C. D.

 

3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(   )

 

A.     B.     C.     D. 

 

4.若不等式对于一切?(0,)成立,则的取值范围是(  )

 

A.0             B. –2              C.-               D.-3

 

5.设是上的任意函数,则下列叙述正确的是(  )

 

A.是奇函数       B.是奇函数

 

C.是偶函数     D.是偶函数

 

6.已知定义在上的奇函数满足,则的值为(  )

 

A.－1         B.0            C.1                D.2

 

7.已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称,记.若在区间上是增函数,则实数的取值范围是(  )

 

 A.      B.  C.         D. 

 

8.(理)如果函数在区间上是增函数,那么实数的取值范围是(   )

 

Ａ.         Ｂ.        Ｃ.        Ｄ. 

 

9.对于上可导的任意函数,若满足,则必有(  )

 

A. B. C. D. 

 

10.已知,则(  )

 

A.          B.            C.      D.

 

11.已知函数,若为奇函数,则            .

 

12.已知函数是定义在上的偶函数. 当时,,则当时,                 .

 

13.是定义在上的以3为周期的偶函数,且,则方程=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是(  )                            

 

A.5          B.4       C.3              D.2

 

14.下列函数既是奇函数,又在区间上单调递减的是(   )

 

A.  B.  C.  D.

 

15.若函数, 则该函数在上是(   )

 

A.单调递减无最小值    B.单调递减有最小值

 

C.单调递增无最大值    D.单调递增有最大值

 

16.若函数在区间内单调递增,则的取值范围是(  )

 

A.              B.                C.              D.

 

17.设是定义在上的奇函数,且的图象关于直线对称,则______.

 

18.设函数在上满足,,且在闭区间［0，7］上,只有.

 

(Ⅰ)试判断函数的奇偶性;

 

(Ⅱ)试求方程=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数,并证明你的结论.

 

19. (理)已知,函数 

 

(1)当为何值时,取得最小值？证明你的结论;(2)设在[ -1，1]上是单调函数,求的取值范围.

 

(文)已知为偶函数且定义域为,的图象与的图象关于直线对称,当时,,为实常数,且.

 

(1)求的解析式;(2)求的单调区间;(3)若的最大值为12,求.

 

20.已知函数的图象过点（0,2）,且在点处的切线方程为.

 

(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调区间.

 

21.已知向量若函数在区间（－1,1）上是增函数,求的取值范围.

 

22. (理)已知函数,,.若,且存在单调递减区间,求的取值范围.

 

(文)已知函数在区间上是减函数,且在区间上是增函数,求实数的值.

 

巩固练习参考答案

 

1. C 2. D  3. A  4. C  5. D  6. B  7. D  8. B  9. C  10. A  11. a=  12. -x-x⁴  13. B  14. D  15. A  16. B  17. 0

 

18 .解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,

 

从而知函数不是奇函数,

 

由

     ,

    从而知函数的周期为又,

    故函数是非奇非偶函数;

 

(II)由

 

 

(II) 又

 

故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数

在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,

所以函数在[-2005,2005]上有802个解.

 

19. (理) 解：（I）对函数求导数得

 

令得［+2(1－)－2］=0从而+2(1－)－2=0

 

解得 

 

当 变化时，、的变化如下表

 

	+	0	－	0	+
	递增	极大值	递减	极小值	递增

 

∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。

 

当≥0时，<－1,在上为减函数，在上为增函数,

而当时=，

当x=0时，.

所以当时，取得最小值

 

（II）当≥0时，在上为单调函数的充要条件是，

即，解得，

于是在[-1，1]上为单调函数的充要条件是，

即的取值范围是

 

(文)解: (1) 先求在上的解析式

 

设是上的一点,

 

则点关于的对称点为且

 

所以得.

 

再根据偶函数的性质, 求当上的解析式为

 

所以

 

(2) 当时, 

 

因时, 所以

 

因, 所以, 所以而.

所以在上为减函数.

 

当时,   因,

所以

 

因所以, 所以, 即

 

所以在上为增函数

 

(3) 由(2)知在上为增函数，在上为减函数,

 

又因为偶函数, 所以

 

所以在上的最大值

 

由得.

 

20.解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，

所以

 

由在处的切线方程是，

知

故所求的解析式是 

 

（Ⅱ）

 

解得  

当

 

当

故内是增函数，

在内是减函数，在内是增函数.

 

21. 解法1：依定义

 

 

开口向上的抛物线，

故要使在区间（－1，1）上恒成立

 

.

 

解法2：依定义

 

 

的图象是开口向下的抛物线，

 

 

 

22. (理) 解： ，

 

则因为函数h(x)存在单调递减区间，

所以<0有解.又因为x>0时，则ax²+2x－1>0有x>0的解.

 

①当a>0时，y=ax²+2x－1为开口向上的抛物线，ax²+2x－1>0总有x>0的解；

 

②当a<0时，y=ax²+2x－1为开口向下的抛物线，而ax²+2x－1>0总有x>0的解；

 

则△=4+4a>0,且方程ax²+2x－1=0至少有一正根.此时，－1<a<0. 综上所述，a的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞）.

 

(文)解：,

 

,

 

,

 

, 当时