《广猛说题系列之利用“中点型一线三等角”研究“等边相似”基本型》

首先，笔者会一步一步逐渐演变该模型的画图过程；

一、“中点型一线三等角”模型演变过程：

第一步：如图3-1，先任意画一个△ABC；

第二步：如图3-2，延长线段AC至点D，使CD=AC，产生中点C；

第三步：如图3-3，分别过点C、点D处作CE、DE交于点E，使∠BCE=∠D=∠A，产生“一线三等角”结构；

之所以把上面的画图过程展示出来，旨在培养学生的画图意识，很多老师都有感觉学生的画图能力越来越差，计算能力也有所下降，作为老师就更不能畏首畏尾，而应该迎难而上，有意识地去培养学生的画图能力及计算能力，平时训练有素，才能真正形成意识，从而应用娴熟，或许可能跟我们教师平时也忽略了这些能力的培养有直接关联吧！

这样通过“三角形的外角模型”去导角，很容易推出∠ECD=∠B，∠ACB=∠E，则有△ABC∽△DCE（注意对应字母的顺序以及对应边与对应角），如图3-4所示；

这就是所谓的“中点型一线三等角”相似模型；

 二、“中点型一线三等角”模型性质探究：

性质1：“中点型一线三等角”结构中三个三角形两两相似.

若此模型仅仅研究到这就停下来，那就太没意思了，这里还有值得我们继续探索的“秘密”，它竟然可以跟三角形的内心或者旁心产生关联，也会跟正方形中著名的“半角模型”产生瓜葛，不得不让人感叹数学的无穷魅力之所在，继续我们的探究之路.

性质2：“中点型一线三等角”结构中两条公共边都是相应的角平分线.

    由性质1中△CBE∽△ABC∽△DCE可知，∠CBE=∠CBA且∠CEB=∠CED，即BC平分∠ABE且EC平分∠DEB，即公共边BC及EC分别是相应的角平分线，如图3-6所示.

性质3：“中点型一线三等角”结构中的中点是其所对的三条边所在直线构成的三角形的旁心（即旁切圆的圆心）或内心（即内切圆的圆心），且当“三等角”为锐角时，对应的中点是旁心；当“三等角”是钝角时，对应的中点是内心.

情形一：如图3-7所示，当∠BCE=∠D=∠A，且为锐角时，延长AB与DE交于点F，则易知△ADF是以∠F为顶角的等腰三角形；

因此“一线三等角”结构，包括“中点型一线三等角”结构，经常会在等腰三角形或等腰梯形等大背景里出现；

如图3-8所示，锁定△BEF，由性质1知BC及EC都是其外角平分线；

联想到“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，采取“见角平分线，作双垂”策略，如图3-9所示，过点C作三条垂线段，易知CG=CH=CK；

由CG=CK，结合“角的内部，到角的两边距离相等的点一定在角的平分线上”这个角平分线判定定理可知：如图3-10所示，连接FC，则FC也是∠AFD的平分线；

其实FC是∠AFD的平分线，也可以由等腰△ADF及CA=CD，结合“三线合一”定理得到，上面的证法反而绕了些，但我们琢磨到这里，竟然发现“中点型一线三等角”模型与如此多重要的基本图形有关联，还是蛮有趣的，这或许就是探索数学的情怀吧！

如图3-11所示，由CG=CH=CK发现中点C到△BEF的三边所在的直线的距离相等，以C为圆心，CG为半径作⊙C，则⊙C与△BEF的三边所在的直线相切，可称为△BEF的旁切圆，圆心C称为△BEF的旁心，旁心C到△BEF的三边所在的直线的距离相等；

有关三角形旁切圆的研究具体可参见本人作品《三角形内切圆、旁切圆半径的研究》；

即对于“中点型一线三等角”结构，当这里的“三等角”为锐角时，这里的中点是其所对三条边所在直线构成的三角形的旁心（即旁切圆的圆心）；

情形二：如图3-12所示，当∠BCE=∠D=∠A且为直角时，这种特殊结构还可以称之为“一线三直角”，此时若延长AB与DE，根本就不会有交点了；

图3-12中的三个直角三角形依然两两相似，公共边BC及EC依然分别是相应的角平分线；

“见角平分线，作双垂”，如图3-13所示，过点C作CH⊥BE于点H，由角平分线则会产生两组全等的直角三角形，易知CH=CA=CD，BA=BH，ED=EH，BE=AB+DE等系列结论，甚至以BE为直径的圆一定与AD相切（学生可自行琢磨，提示：利用d=r，遗憾地是可能用梯形的中位线说理最简单）；

下面是情形二的特例：

如图3-14所示，点E是正方形ABCD边AD的中点，EF⊥BE交CD于点F，很明显这个正方形里出现了一个“中点型一线三直角”结构，不再赘述；

图3-15中的相关结论，也是一目了然，不再详述；

此时若是将延长EH交CD于点N，如图3-16所示， 由BH=BA=BC，结合“HL”易证Rt△BNH≌Rt△BNC，故∠NBC=∠NBH，又由∠EBH=∠EBA易得∠EBN=45°；

哇塞，这不就出现大名鼎鼎的正方形中“半角模型”了嘛，如图3-17所示！有关这个模型有数值不清的结论，笔者也在慢慢沉淀，接下来的题3中也会专门讲到这个模型，此处不再赘述；

情形三：当∠BCE=∠D=∠A，且为钝角时，如图3-18所示；

反向延长线段AB与DE交于点F，则易知△ADF是以∠F为顶角的等腰三角形，如图3-19所示；

如图3-20所示，锁定△BEF，由性质1知BC及EC都是其内角平分线；

联想到“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，采取“见角平分线，作双垂”策略，如图3-21所示，过点C作三条垂线段，易知CG=CH=CK；

由CG=CK，结合“角的内部，到角的两边距离相等的点一定在角的平分线上”这个角平分线判定定理可知：如图3-21所示，连接FC，则FC也是∠AFD的平分线，其实FC是∠AFD的平分线，也可以由等腰△ADF及CA=CD，结合“三线合一”定理得到；

如图3-21所示，由CG=CH=CK发现中点C到△BEF的三边所在的直线的距离相等，以C为圆心，CG为半径作⊙C，则⊙C与△BEF的三边所在的直线相切，可称为△BEF的内切圆，圆心C称为△BEF的内心，内心C到△BEF的三边所在的直线的距离相等；

即对于“中点型一线三等角”结构，当这里的“三等角”为钝角时，这里的中点是其所对三条边所在直线构成的三角形的内心（即内切圆的圆心）；

情形一的“中点型一线三锐角”与情形三的“中点型一线三钝角”，其实探究思路差不多，唯一的区别就是旁心变成了内心，这就是类比思想，这就是“图形变了，方法未变”的统一性；

有关“中点型一线三等角”结构的性质探究，至此就差不多了，在探究的过程中，笔者惊喜地发现这个结构可以演变出蛮多学生熟知的基本图形，这种探究的乐趣传递，才是我主要想表达的东西；

其实，笔者本来仅仅想随便构造一个“中点型一线三等角”结构，然后结合于特的“等边相似”模型三性质分析一下即可，但没想到一发不可收，搞了这么多，这就是写作的魅力，越写越有劲，越写越有灵感，建议广大教师们可以行动起来，执起手中的笔，开启你们的写作之路吧，大家一起加油！

最后我们结合“中点型一线三锐角”结构，强化于特的“等边相似”三大性质，这也是笔者的初衷啊！

为方便起见，将图3-6复制下来，接下来对照此图进行分析；

这里的“中点型一线三等角”模型就是典型的“等边相似”模型，所谓“等边”就是中点C提供的两边CA与CD；

下面再举一例，谈谈“等边相似”在中考实战中的应用：

简析：下面提供一般情况下解反比例函数有关问题的两种常见的通解通法：一是代数设坐标法；二是几何特征面积法；

方法一（设坐标暴力计算代数法）：一般情况下，反比例函数的考题大多都可以回归定义，利用“设坐标法”进行求解，只不过有的可能计算量偏大而已，但只要“硬着头皮”坚持到底，基本都能搞定，可称之为“代数法”；

设坐标时，一般情况下都是设出主动点的坐标，“牵一发而动全身”，紧接着产生“连锁反应”，表示出其他各从动点的坐标，再想办法列方程求解即可；

题目中还有一个关键条件QE：DP=4：9没有用，如何利用这个比值呢？QE与DP这两条线段都是“斜线段”，它们之间的比值，我称之为“斜比值”，一般遇到“斜比值”的话，都是通过依托于这两条线段的四个端点构造系列“水平—竖直辅助线”，构造相似，将“斜比值”转化为“直比值”进行处理，是的，这里又采用了“改斜归正”大法，这种斜化直思想的重要性不言而喻，应用极其广泛；

如图4-1所示，分别过点D、点E向x轴、y轴作垂线，垂足依次为点F、点G，则Rt△QEG∽Rt△DPF，从而有QE：DP=QG：DF，即QG：DF=4：9；

题目中还有一个关键条件QE：DP=4：9没有用，如何利用这个比值呢？QE与DP这两条线段都是“斜线段”，它们之间的比值，我称之为“斜比值”，一般遇到“斜比值”的话，都是通过依托于这两条线段的四个端点构造系列“水平—竖直辅助线”，构造相似，将“斜比值”转化为“直比值”进行处理，是的，这里又采用了“改斜归正”大法，这种斜化直思想的重要性不言而喻，应用极其广泛；

如图4-1所示，分别过点D、点E向x轴、y轴作垂线，垂足依次为点F、点G，则Rt△QEG∽Rt△DPF，从而有QE：DP=QG：DF，即QG：DF=4：9；

解题后反思：上面的代数计算法，一般情况下都是行得通的，但因其几乎没什么思维量而言，导致其计算量一般会很大，甚至可能会超出学生的计算能力，凡事皆有利有弊，唯有坚持，方能胜利；

代数解法是处理反比例函数的一种通解通法，当你无路可走时，就果断去算吧！

除了上面“繁琐”的代数暴力计算法外，还有没有比较巧妙机智的“几何构造解法”呢？下面提供本人偶像于特的“等边相似”大法：

解题后反思：解法二几乎就是纯几何解法，巧妙借助这里的“等边相似型”，即Rt△QEG∽Rt△DPF，结合巧设，最后利用特征矩形的面积得到所求，妙不可言；

本题中Rt△QEG∽Rt△EDA∽Rt△DPF，这三个三角形两两相似，两头的直角三角形都与中间的直角三角形组成了“等边相似型”；

除了可以利用“等边相似型”Rt△QEG∽Rt△DPF求解外，还可以利用另一组“等边相似型”Rt△QEG∽Rt△EDA进行求解，笔者不再详述，有兴趣的同学可自行研究，加深印象；

此外，此题还可将代数设坐标法与几何构造“等边相似”三角形法混合在一起使用，不妨称之为“混搭”，具体操作如下；

注意：这里最后提及的混合解法，是夹杂代数设坐标法以及几何构造及特征面积法，是同学们最值得思考的地方，只有对每种解法的优缺点熟悉了，才能灵活运用；

另外这里的“等边相似”基本图形为寻找解题思路及突破口，甚至口算结果都发挥了重大作用，应引起同学们足够的重视，建议自己再找些更一般意识上的“等边相似”结构，研究琢磨上面的三大性质，将之烂熟于心，了如指掌，才是正道！